Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones.



Cuando las ecuaciones son lineales, es decir, de la forma       se dice que el sistema es lineal.



Un sistema lineal sería, por tanto, de la forma:



Resolver un sistema consiste en encontrar tantos números como incógnitas tenga el sistema de manera que, al sustituirlos en las ecuaciones, se verifiquen las igualdades.



Existen cuatro métodos para resolver sistemas lineales:

                   Sustitución.

                   Igualación.

                   Reducción.

                   Gráfico.



Sustitución


El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de la ecuación que queramos y sustituir el resultado en la otra ecuación. Con ello pasamos a tener una ecuación de primer grado que podemos resolver, obteniendo el valor de una de las incógnitas.

Para hallar el valor de la otra incógnita, sustituimos el número obtenido en la igualdad que obtuvimos al despejar.

Ejemplo:      



  Despejamos    de la primera ecuación:





  Sustituimos     en la segunda ecuación:





  Resolvemos la ecuación y con ello hallamos el valor de    









  Para hallar el valor de       sustituimos       en   









La solución del sistema es:







Igualación


El método de igualación consiste en despejar una de las incógnitas de las dos ecuaciones e igualar los resultados obtenidos. Con ello pasamos a tener una ecuación de primer grado que podemos resolver, obteniendo el valor de una de las incógnitas.

Para hallar el valor de la otra incógnita, sustituimos el número obtenido en cualquiera de las igualdades que obtuvimos al despejar.

Ejemplo:      



  Despejamos    de las dos ecuaciones:







  Igualamos las expresiones obtenidas:





  Resolvemos la ecuación y con ello hallamos el valor de    













  Para hallar el valor de       sustituimos        en        o en    










La solución del sistema es:







Reducción


El método de reducción consiste en multiplicar las ecuaciones por los números necesarios de manera que al sumarlas una incógnita desaparezca. Con ello pasamos a tener una ecuación de primer grado muy fácil de resolver, obteniendo el valor de una de las incógnitas.

Para hallar el valor de la otra incógnita, sustituimos el número obtenido en cualquiera de las ecuaciones y la despejamos, o también, podemos repetir el proceso, pero esta vez multiplicando por los números necesarios para que al sumar las ecuaciones desaparezca la incógnita que ya hemos calculado.

Ejemplo:      



  Para hallar la    multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos ambas ecuaciones. Al sumar, la incógnita     desaparece y podemos calcular fácilmente    







  Para hallar el valor de       repetimos el proceso multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por (-2) . AL sumar ahora, será la incógnita        la que desaparezca y podremos calcular    








  También podríamos haber sustituido el valor de        en cualquier ecuación, y despejar    














La solución del sistema es:







Gráfico


El método gráfico consiste en dibujar las rectas que representan a cada ecuación y hallar el punto donde se cortan.


Para dibujar la recta , despejamos    de la ecuación y damos valores a   , calculando la     correspondiente. Con ello hallamos tantos puntos como sea necesario para representarla.

Ejemplo:      



  Representamos  









  Representamos  













La solución del sistema es: