Toñi Pérez - Matemáticas - IES Domenico Scarlatti

Una ecuación es de segundo grado si puede expresarse de la forma

$\red\fs3ax^{\fs1{2}}\,+\,bx\,+\,c\,=\,0\;\;\;\;a,\;b,\;c\;\in\;{R}$

Una ecuación de segundo grado se dice que es completa cuando tiene los tres términos; es decir cuando $\red\fs3a\,{\fs1{\ne}}\,0,\;b\,{\fs1{\ne}}\,0,\;c\,{\fs1{\ne}}\,0$ . En caso contrario se llama incompleta.

Una ecuación de segundo grado completa se resuelve aplicando la fórmula:

$\red\fs3x=\frac{\,-\,b\,\pm\,\sqrt{b^{\fs1{2}}\,-\,4ac}\,}{2a}$

Ejemplo:

Resuelve la ecuación: $\blue\fs33x^{\fs1{2}}\,-\,7x\,+\,2\,=\,0$

$\blue\fs3x=\frac{\,7\,\pm\,\sqrt{(-7)^{\fs1{2}}\,-\,4\,\cdot\,3\,\cdot\,2}\,}{2\,\cdot\,3}\,=\,\frac{\,7\,\pm\,\sqrt{49\,-\,24}\,}{6}\,=\,\frac{\,7\,\pm\,\sqrt{25}}{6}\,=\,\frac{\,7\,\pm\,5\,}{6}$

$\red\fs3x_{\fs0{1}}\,=\,\frac{\,7\,-\,5\,}{6}\,=\,\frac{\,2\,}{6}\,=\,\compose{\circle(55,40}{\frac{1}{\,3\,}}$

$\red\fs3x_{\fs0{2}}\,=\,\frac{\,7\,+\,5\,}{6}\,=\,\frac{\,12\,}{6}=\compose{\circle(55,40}{2}$

Una ecuación de segundo grado incompleta se resuelve dependiendo del término que falte:

Primer caso:    $\red\fs3b\,=\,0,\;c\,=\,0$

La ecuación quedaría de la forma    $\red\fs3ax^{\fs1{2}}\,=\,0$

En este caso la solución sería siempre:    $\red\fs3\compose{\circle(55,40}{x\,=\,0}$

Segundo caso:    $\red\fs3b\,=\,0$

La ecuación quedaría de la forma    $\red\fs3ax^{\fs1{2}}\,+\,c\,=\,0$

En este caso para resolverla despejamos    $\fs3x^{\fs1{2}}$   y hallamos la raíz cuadrada del número obtenido.

Ejemplo:   $\blue\fs32x^{\fs1{2}}\,-\,18\,=\,0$

$\blue\fs3x^{\fs1{2}}\,=\,\frac{\,18\,}{2}\,=\,9$

$\blue\fs3x\,=\,\pm\,\sqrt{9}$

$\red\fs3x_{\fs0{1}}\,=\,\compose{\circle(55,40}{3}$

$\red\fs3x_{\fs0{2}}\,=\,\compose{\circle(55,40}{-\,3}$

Tercer caso:    $\red\fs3c\,=\,0$

La ecuación quedaría de la forma    $\red\fs3ax^{\fs1{2}}\,+\,bx\,=\,0$

En este caso para resolverla sacamos factor común    $\fs3x$   e igualamos cada factor a 0, resolviendo las nuevas ecuaciones que se obtienen.

Ejemplo:   $\blue\fs33x^{\fs1{2}}\,+\,5x\,=\,0$

$\blue\fs3x(3x\,+\,5)\,=\,0$

$\color{red}\rightarrow$    $\blue\fs3x\,=\,0$    $\color{red}\rightarrow$    $\red\fs3x_{\fs0{1}}\,=\,\compose{\circle(55,40}{0}$

$\color{red}\rightarrow$    $\blue\fs33x\,+\,5\,=\,0$    $\color{red}\rightarrow$    $\blue\fs3x=\frac{\,-5\,}{3}$    $\color{red}\rightarrow$    $\red\fs3x_{\fs0{2}}\,=\,\compose{\circle(55,40}{\frac{\,-\,5\,}{3}}$

Una ecuación de segundo grado tiene a lo sumo dos soluciones.

Se llama discriminante ( $\blue\triangle$ )   a:     $\blue\fs3\triangle\,=\,b^{\fs1{2}}\,-\,4ac$

$\color{red}\rightarrow$    Si    $\blue\triangle\,\g\,0$   entonces la ecuación tiene dos soluciones en    $R$

$\color{red}\rightarrow$    Si    $\blue\triangle\,=\,0$   entonces la ecuación tiene una solución que llamaremos doble.

$\color{red}\rightarrow$    Si    $\blue\triangle\,<\,0$   entonces la ecuación no tiene solución en    $R$