Toñi Pérez - Matemáticas - IES Domenico Scarlatti

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones.

Cuando las ecuaciones son lineales, es decir, de la forma $\blue\fs3ax\,+\,by\,=\,c$ se dice que el sistema es lineal.

Un sistema lineal sería, por tanto, de la forma:

$\blue\left\{\begin{array}ax\,+\,by\,=\,c\\\\\\\\a^,x\,+\,b^,y\,=\,c^,\end{array}\right.$

Resolver un sistema consiste en encontrar tantos números como incógnitas tenga el sistema de manera que, al sustituirlos en las ecuaciones, se verifiquen las igualdades.

Existen cuatro métodos para resolver sistemas lineales:

                 $\color{red}\rightarrow$   Sustitución.

                 $\color{red}\rightarrow$   Igualación.

                 $\color{red}\rightarrow$   Reducción.

                 $\color{red}\rightarrow$   Gráfico.

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de la ecuación que queramos y sustituir el resultado en la otra ecuación. Con ello pasamos a tener una ecuación de primer grado que podemos resolver, obteniendo el valor de una de las incógnitas.

Para hallar el valor de la otra incógnita, sustituimos el número obtenido en la igualdad que obtuvimos al despejar.

Ejemplo: $\blue\left\{\begin{array}2x\,+\,y\,=\,1\\\\\\\\3x\,-\,2y\,=\,5\end{array}\right.$

$\color{red}\rightarrow$   Despejamos $\color{blue}y$ de la primera ecuación:

$\color{blue}y\,=\,1\,-\,2x$

$\color{red}\rightarrow$   Sustituimos $\color{blue}y$ en la segunda ecuación:

$\blue3x\,-\,2(1\,-\,2x)\,=\,5$

$\color{red}\rightarrow$   Resolvemos la ecuación y con ello hallamos el valor de $\color{blue}x$

$\blue3x\,-\,2\,+\,4x\,=\,5$

$\blue7x\,=\,7$

$\red\compose{\circle(55,40}{x\,=\,1}$

$\color{red}\rightarrow$   Para hallar el valor de    $\color{blue}y$    sustituimos    $\color{blue}x\,=\,1$    en    $\color{blue}y\,=\,1\,-\,2x$

$\color{blue}y\,=1\,-\,2\cdot1$

$\color{blue}y\,=\,1\,-\,2$

$\red\compose{\circle(75,40}{y\,=\,-1}$

La solución del sistema es:

$\color{red}(\,x\,,\,y\,)\,=\,(\,1\,,\,-1\,)$

Igualación

El método de igualación consiste en despejar una de las incógnitas de las dos ecuaciones e igualar los resultados obtenidos. Con ello pasamos a tener una ecuación de primer grado que podemos resolver, obteniendo el valor de una de las incógnitas.

Para hallar el valor de la otra incógnita, sustituimos el número obtenido en cualquiera de las igualdades que obtuvimos al despejar.

Ejemplo: $\blue\left\{\begin{array}2x\,+\,y\,=\,1\\\\\\\\3x\,-\,2y\,=\,5\end{array}\right.$

$\color{red}\rightarrow$   Despejamos $\color{blue}x$ de las dos ecuaciones:

$\color{blue}x\,=\,\frac{\,1\,-\,y\,}{2}$

$\color{blue}x\,=\,\frac{\,5\,+\,2y\,}{3}$

$\color{red}\rightarrow$   Igualamos las expresiones obtenidas:

$\blue\frac{\,1\,-\,y\,}{2}\,=\,\frac{\,5\,+\,2y\,}{3}$

$\color{red}\rightarrow$   Resolvemos la ecuación y con ello hallamos el valor de $\color{blue}y$

$\blue3(1\,-\,y)\,=\,2(5\,+\,2y)$

$\blue3\,-\,3y\,=\,10\,+\,4y$

$\blue-3y\,-\,4y\,=\,10\,-\,3$

$\blue-7y\,=\,7$

$\red\compose{\circle(75,40}{y\,=\,-1}$

$\color{red}\rightarrow$   Para hallar el valor de    $\color{blue}x$    sustituimos     $\color{blue}y\,=\,-1$    en     $\color{blue}x\,=\,\frac{\,1\,-\,y\,}{2}$    o en     $\color{blue}x\,=\,\frac{\,5\,+\,2y\,}{3}$

$\color{blue}x\,=\,\frac{\,1\,-\,(-1)\,}{2}$

$\color{blue}x\,=\,\frac{\,1\,+\,1\,}{2}$

$\red\compose{\circle(55,40}{x\,=\,1}$

La solución del sistema es:

$\color{red}(\,x\,,\,y\,)\,=\,(\,1\,,\,-1\,)$

Reducción

El método de reducción consiste en multiplicar las ecuaciones por los números necesarios de manera que al sumarlas una incógnita desaparezca. Con ello pasamos a tener una ecuación de primer grado muy fácil de resolver, obteniendo el valor de una de las incógnitas.

Para hallar el valor de la otra incógnita, sustituimos el número obtenido en cualquiera de las ecuaciones y la despejamos, o también, podemos repetir el proceso, pero esta vez multiplicando por los números necesarios para que al sumar las ecuaciones desaparezca la incógnita que ya hemos calculado.

Ejemplo: $\blue\left\{\begin{array}2x\,+\,y\,=\,1\\\\\\\\3x\,-\,2y\,=\,5\end{array}\right.$

$\color{red}\rightarrow$   Para hallar la $\color{blue}x$ multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos ambas ecuaciones. Al sumar, la incógnita $\color{blue}y$ desaparece y podemos calcular fácilmente $\color{blue}x$

$\color{blue}\left.\begin{array}4x\,+\,2y\,=\,2\\\\\\\\3x\,-\,2y\,=\,5\\\\\\\\---------------\\\\\\\\7x\,=\,7\end{array}\right.$

$\red\compose{\circle(55,40}{x\,=\,1}$

$\color{red}\rightarrow$   Para hallar el valor de    $\color{blue}y$    repetimos el proceso multiplicando la primera ecuación por 3 y la segunda por (-2) . AL sumar ahora, será la incógnita     $\color{blue}x$    la que desaparezca y podremos calcular     $\color{blue}y$

$\color{blue}\left.\begin{array}6x\,+\,3y\,=\,3\\\\\\\\-6x\,+\,4y\,=\,-10\\\\\\\\---------------\\\\\\\\7y\,=\,-7\end{array}\right.$

$\red\compose{\circle(75,40}{y\,=\,-1}$

$\color{red}\rightarrow$   También podríamos haber sustituido el valor de     $\color{blue}y$    en cualquier ecuación, y despejar     $\color{blue}x$

$\color{blue}2x\,+\,(-1)\,=\,1$

$\color{blue}2x\,-\,1\,=\,1$

$\color{blue}2x\,=\,1\,+\,1$

$\color{blue}2x\,=\,2$

$\red\compose{\circle(55,40}{x\,=\,1}$

La solución del sistema es:

$\color{red}(\,x\,,\,y\,)\,=\,(\,1\,,\,-1\,)$

Gráfico

El método gráfico consiste en dibujar las rectas que representan a cada ecuación y hallar el punto donde se cortan.

Para dibujar la recta , despejamos $\color{blue}y$ de la ecuación y damos valores a $\color{blue}x$ , calculando la $\color{blue}y$ correspondiente. Con ello hallamos tantos puntos como sea necesario para representarla.

Ejemplo: $\blue\left\{\begin{array}2x\,+\,y\,=\,1\\\\\\\\3x\,-\,2y\,=\,5\end{array}\right.$

$\color{red}\rightarrow$ Representamos $\color{blue}2x\,+\,y\,=\,1$

$\color{blue}y\,=\,1\,-\,2x$

$\color{blue}x\,=\,2\,;\;\;\;y\,=\,-3\;\;\;\;\;\;A=(2,-3)$

$\color{blue}x\,=\,-1\,;\;\;\;y\,=\,3\;\;\;\;\;\;B=(-1,3)$

$\color{red}\rightarrow$ Representamos $\color{blue}3x\,-\,2y\,=\,5$

$\color{blue}y\,=\,\frac{\,3x\,-\,5\,}{2}$

$\color{blue}x\,=\,3\,;\;\;\;y\,=\,2\;\;\;\;\;\;C=(3,2)$

$\color{blue}x\,=\,-1\,;\;\;\;y\,=\,-4\;\;\;\;\;\;D=(-1,-4)$

La solución del sistema es:

$\color{red}(\,x\,,\,y\,)\,=\,(\,1\,,\,-1\,)$

Clasificación de sistemas

Uun sistema puede ser:

Incompatible cuando no tiene solución.

Compatible determinado cuando tiene una única solución.

Compatible indeterminado cuando tiene infinitas soluciones.